Para resolver ejercicios de Control PID , se aplican principalmente dos métodos de sintonización desarrollados por Ziegler-Nichols . Estos permiten calcular las ganancias Proporcional ( cap K sub p ), Integral ( cap T sub i ) y Derivativa ( cap T sub d ) basándose en la respuesta del sistema.
Metodología 1: Basada en la Curva de Respuesta (Lazo Abierto)
Este método se utiliza cuando la respuesta de la planta a un escalón unitario tiene una forma de "S".
Obtener la respuesta de la planta en lazo abierto ante un escalón.
Trazar una línea tangente en el punto de inflexión de la curva para identificar el constante de tiempo ( Aplicar las fórmulas de la tabla:
Metodología 2: Basada en la Ganancia Crítica (Lazo Cerrado)
Se emplea cuando el sistema puede hacerse oscilar de forma sostenida. Eliminar las acciones integral y derivativa ( Aumentar la ganancia proporcional hasta obtener una oscilación sostenida (amplitud constante). Este valor es la Ganancia Crítica ( cap K sub c r end-sub
Medir el tiempo entre dos picos consecutivos de la oscilación para obtener el Periodo Crítico ( cap P sub c r end-sub control pid ejercicios resueltos
Calcular los parámetros según la tabla de Ziegler-Nichols: Ejemplo de Ejercicio Resuelto
Si para un sistema dado se encuentra experimentalmente que oscila con una ganancia y un periodo segundos, los parámetros para un controlador PID serían: Recursos para práctica adicional Ejercicios de Control PID (PDF) de la Universidad Nacional de San Luis. Guía de Estrategias PID con ejercicios resueltos paso a paso. Simulaciones en MATLAB para validar los resultados de sintonización. Universidad Nacional de San Luis Más información Revisa este tutorial sobre el Método 1 de Ziegler-Nichols para dinámicas tipo S. Consulta la explicación detallada de Ziegler-Nichols en lazo cerrado con ejemplos prácticos. Explora la teoría fundamental del control proporcional-integral-derivativo en Wikipedia. Descarga guías de ejercicios de control de procesos en formato PDF. ¿Necesitas ayuda para resolver un ejercicio con una función de transferencia específica?
Planta:
[
G(s) = \frac1s^2 + 2s + 1
]
Objetivo: Diseñar un controlador PID usando la tabla de Ziegler-Nichols (respuesta escalón).
Controlador PI: (G_c(s) = K_p + \fracK_is = 4 + \frac2s)
Error en lazo cerrado: [ e_ss = \lim_s \to 0 s \cdot \frac11 + G_c(s)G(s) \cdot \frac1s = \frac11 + \lim_s \to 0 G_c(s)G(s) ]
Cálculo del límite: [ \lim_s \to 0 G_c(s)G(s) = \lim_s \to 0 \left(4 + \frac2s\right) \cdot \frac1s+2 = \lim_s \to 0 \frac4(s+2) + 2s(s+2) = \lim_s \to 0 \frac4s+8+2s(s+2) = \lim_s \to 0 \frac4s+10s(s+2) ] Este límite tiende a infinito debido al polo en (s=0) del integrador. Para resolver ejercicios de Control PID , se
Por lo tanto: [ e_ss = \frac11 + \infty = 0 ]
Conclusión: La acción integral elimina completamente el error en estado estacionario para entradas escalón.
[ G_c(s) = 2.4 + \frac1.53s + 0.942 s ]
Comentario: Este método es empírico. Luego se ajusta finamente para reducir sobreoscilación.
| Tipo | ( K_p ) | ( T_i ) | ( T_d ) | |------|-----------|-----------|-----------| | PID | ( 0.6 K_u ) | ( 0.5 T_u ) | ( 0.125 T_u ) |
[ K_p = 0.6 \times 4 = 2.4 ] [ T_i = 0.5 \times 3.14 = 1.57 ,\texts \quad \Rightarrow \quad K_i = \fracK_pT_i = 1.53 ] [ T_d = 0.125 \times 3.14 = 0.3925 ,\texts \quad \Rightarrow \quad K_d = K_p \cdot T_d = 0.942 ]
[ T_i = 2L = 2 \times 2 = 4 \text segundos ] [ T_d = 0.5 L = 0.5 \times 2 = 1 \text segundo ] Controlador PI: (G_c(s) = K_p + \fracK_is = 4 + \frac2s)
Identificar parámetros del proceso: Para un modelo de primer orden con retardo (G(s) = \fracK e^-LsTs+1). Asumimos ganancia estática (K=1).
Tabla de Ziegler-Nichols (lazo abierto):
| Tipo | (K_p) | (T_i) | (T_d) | |------|---------|---------|---------| | P | (T/(K L)) = 10/(1·2)=5 | - | - | | PI | 0.9·T/(K L)=4.5 | L/0.3=6.67 | - | | PID | 1.2·T/(K L)=6 | 2L=4 | 0.5L=1 |
Interpretación: Este sintonía produce una respuesta con un sobrepaso aproximado del 25% y un tiempo de estabilización moderado. Es un punto de partida excelente para ajustes finos.
Planteamiento: Un sistema de control de temperatura tiene un set point (referencia) de $50^\circ C$. La temperatura actual del proceso es de $45^\circ C$. El controlador PID tiene los siguientes parámetros: $K_p = 4$, $K_i = 2$, $K_d = 0.5$. El error ha estado disminuyendo a una tasa constante de $1^\circ C$ por segundo durante los últimos segundos.
Calcular: