Ejercicios Resueltos De Distribucion De Poisson Online

Aquí tienes una guía rápida con la teoría esencial ejercicios resueltos paso a paso sobre la Distribución de Poisson. ¿Qué es la Distribución de Poisson?

Se utiliza para calcular la probabilidad de que ocurra un número determinado de eventos en un intervalo continuo (tiempo, área, volumen o distancia). La fórmula fundamental:

cap P open paren cap X equals k close paren equals the fraction with numerator e raised to the negative lambda power center dot lambda to the k-th power and denominator k exclamation mark end-fraction Promedio de ocurrencias en el intervalo dado. Número de éxitos exactos que deseamos calcular. Constante de Euler (aprox. 2.71828). Ejercicio 1: Eventos en el tiempo Enunciado:

Un centro de atención al cliente recibe un promedio de 3 llamadas por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban exactamente 2 llamadas en la próxima hora? Solución: Identificar datos: Aplicar fórmula:

cap P open paren cap X equals 2 close paren equals the fraction with numerator e to the negative 3 power center dot 3 squared and denominator 2 exclamation mark end-fraction

cap P open paren cap X equals 2 close paren equals the fraction with numerator 0.0498 center dot 9 and denominator 2 end-fraction equals 0.2241 Resultado: de probabilidad de recibir 2 llamadas. Ejercicio 2: Cambio de intervalo Enunciado:

Si una carretera promedia 2 accidentes por mes, ¿cuál es la probabilidad de que ocurra solo 1 accidente en un periodo de Solución: El promedio es 2 por mes. Para 2 meses, Identificar datos: Aplicar fórmula:

cap P open paren cap X equals 1 close paren equals the fraction with numerator e to the negative 4 power center dot 4 to the first power and denominator 1 exclamation mark end-fraction

cap P open paren cap X equals 1 close paren equals 0.0183 center dot 4 equals 0.0732 Resultado: La probabilidad es del Ejercicio 3: Probabilidad acumulada ("Al menos") Enunciado:

En una fábrica, se producen 0.5 errores por lote de producción. ¿Cuál es la probabilidad de que un lote tenga al menos un Solución: Analizar el problema: "Al menos uno" significa . Es más fácil calcular el complemento: ejercicios resueltos de distribucion de poisson

cap P open paren cap X equals 0 close paren equals the fraction with numerator e to the negative 0.5 power center dot 0.5 to the 0 power and denominator 0 exclamation mark end-fraction equals e to the negative 0.5 power is approximately equal to 0.6065 Aplicar complemento: 1 minus 0.6065 equals 0.3935 Resultado: de probabilidad de encontrar al menos un error. ¿Te gustaría que preparemos una tabla de valores de Poisson o prefieres ejercicios con intervalos de área

¡Claro que sí! Crear una guía sobre la Distribución de Poisson no tiene que ser aburrido. Vamos a transformar las matemáticas en una herramienta para detective y planificación.

Aquí tienes una guía visual y dinámica: "El Arte de Predecir lo Impredecible: Guía Maestra de la Distribución de Poisson".

Ejercicio 4: Llegada de clientes a una tienda (Uso de complemento)

Enunciado: Una tienda recibe un promedio de 6 clientes cada 10 minutos. Calcular la probabilidad de que en un periodo de 10 minutos lleguen más de 4 clientes.

Solución: (P(X > 4) = 1 - P(X \leq 4))

Calculamos (P(X \leq 4)) con λ = 6:

  • (P(X=0) = e^-6 \approx 0.00248)
  • (P(X=1) = 6 e^-6 \approx 0.01487)
  • (P(X=2) = \frac36 e^-62 = 18 e^-6 \approx 0.04462)
  • (P(X=3) = \frac216 e^-66 = 36 e^-6 \approx 0.08924)
  • (P(X=4) = \frac1296 e^-624 = 54 e^-6 \approx 0.13385)

Suma: (0.00248 + 0.01487 + 0.04462 + 0.08924 + 0.13385 = 0.28506)

Entonces: (P(X > 4) = 1 - 0.28506 = 0.71494)

Respuesta: 71.49% de probabilidad.

Apartado b) ( P(X \geq 3) = 1 - P(X \leq 2) )

Primero ( P(X \leq 2) = P(0) + P(1) + P(2) ):

Ya tenemos ( P(0) = 0.135335 ).
[ P(1) = \frace^-2 \cdot 2^11! = 0.135335 \times 2 = 0.27067 ] [ P(2) = \frace^-2 \cdot 2^22! = \frac0.135335 \times 42 = \frac0.541342 = 0.27067 ] Suma: [ P(X \leq 2) = 0.135335 + 0.27067 + 0.27067 = 0.676675 ] Entonces: [ P(X \geq 3) = 1 - 0.676675 = 0.323325 ]

Resultado: ( P(X \geq 3) \approx 0.3233 ) (32.33%).

🔹 Ejercicio 1

Un call center recibe en promedio 3 llamadas por minuto.
¿Probabilidad de recibir exactamente 5 llamadas en un minuto?

Solución:

[ \lambda = 3, \quad k = 5 ] [ P(X=5) = \frace^-3 \cdot 3^55! ] [ 3^5 = 243, \quad 5! = 120 ] [ e^-3 \approx 0.049787 ] [ P = \frac0.049787 \times 243120 = \frac12.097120 \approx 0.1008 ]

✅ Respuesta: ( \approx 10.08% )

Ejercicio 2: Probabilidad acumulada (más de / menos de)

Problema: En una fábrica de autopartes se sabe que se producen, en promedio, 2 piezas defectuosas por cada lote de producción. a) ¿Cuál es la probabilidad de que en un lote no haya ninguna pieza defectuosa? b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de 2 piezas defectuosas?

Solución:

Datos: $\lambda = 2$.

Apartado a) $P(X = 0)$ $$P(X = 0) = \frace^-2 \cdot 2^00!$$

  • $e^-2 \approx 0.1353$
  • $2^0 = 1$ (Cualquier número elevado a 0 es 1).
  • $0! = 1$ (El factorial de 0 es 1 por definición).

$$P(X = 0) = 0.1353 \cdot \frac11 = 0.1353$$ Respuesta a): La probabilidad de que no haya defectos es del 13.53%.

Apartado b) $P(X > 2)$ Para calcular "más de 2", no podemos calcular infinitos valores. Usamos el complemento: $$P(X > 2) = 1 - P(X \leq 2)$$ $$P(X > 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]$$

Ya calculamos $P(X=0) = 0.1353$. Ahora calculemos $P(X=1)$ y $P(X=2)$:

  • $P(X = 1)$: $$\frace^-2 \cdot 2^11! = 0.1353 \cdot 2 = 0.2707$$

  • $P(X = 2)$: $$\frace^-2 \cdot 2^22! = \frac0.1353 \cdot 42 = 0.2707$$

Sumamos las probabilidades: $$P(X \leq 2) = 0.1353 + 0.2707 + 0.2707 = 0.6767$$

Aplicamos el complemento: $$P(X > 2) = 1 - 0.6767 = 0.3233$$ Aquí tienes una guía rápida con la teoría

Respuesta b): La probabilidad de que haya más de 2 piezas defectuosas es del 32.33%.

Errores comunes al resolver ejercicios de Poisson

  1. No ajustar λ cuando cambia el intervalo: El error más frecuente. Si el promedio es por hora y te piden por minuto, divide λ entre 60.
  2. Usar Poisson cuando no hay independencia: Por ejemplo, número de alumnos que llegan tarde si hay una tormenta (eventos correlacionados).
  3. Olvidar que k es entero no negativo: No tiene sentido preguntar P(X=2.5).
  4. Confundir Poisson con Exponencial: Poisson cuenta eventos (discreto), Exponencial mide tiempos entre eventos (continuo).

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