Regresion Lineal Multiple Ejercicios Resueltos A Mano Verified

Regresion Lineal Multiple Ejercicios Resueltos A Mano Verified

Regresion Lineal Multiple Ejercicios Resueltos A Mano Verified

Aquí tienes una revisión detallada y estructurada sobre cómo abordar ejercicios de Regresión Lineal Múltiple resueltos a mano. Esta guía está diseñada para servir como un "resumen útil" (cheat sheet) para estudiantes o profesionales que necesiten refrescar los conceptos clave y la metodología de cálculo.

Paso 2: Estimar por Mínimos Cuadrados Ordinarios

La solución es: [ \hat\boldsymbol\beta = (\mathbfX'\mathbfX)^-1 \mathbfX'\mathbfY ]

Step 1: Compute necessary sums

| Student | (X_1) | (X_2) | (Y) | (X_1Y) | (X_2Y) | (X_1^2) | (X_2^2) | (X_1X_2) | |---------|---------|---------|-------|----------|----------|----------|----------|------------| | 1 | 4 | 6 | 75 | 300 | 450 | 16 | 36 | 24 | | 2 | 6 | 5 | 85 | 510 | 425 | 36 | 25 | 30 | | 3 | 2 | 8 | 65 | 130 | 520 | 4 | 64 | 16 | | 4 | 5 | 7 | 80 | 400 | 560 | 25 | 49 | 35 | | 5 | 3 | 6 | 70 | 210 | 420 | 9 | 36 | 18 | | Sum | 20 | 32 | 375 | 1550 | 2375 | 90 | 210 | 123 |

So:

Paso 2: Calcular todas las sumatorias

Construimos una tabla auxiliar:

| (Y) | (X_1) | (X_2) | (X_1^2) | (X_2^2) | (X_1 X_2) | (X_1 Y) | (X_2 Y) | |-------|---------|---------|------------|------------|-------------|-----------|-----------| | 23 | 2 | 3 | 4 | 9 | 6 | 46 | 69 | | 26 | 3 | 4 | 9 | 16 | 12 | 78 | 104 | | 30 | 5 | 5 | 25 | 25 | 25 | 150 | 150 | | 34 | 6 | 6 | 36 | 36 | 36 | 204 | 204 | | 37 | 8 | 7 | 64 | 49 | 56 | 296 | 259 | | Suma | | | | | | | | | (\sum Y = 150) | (\sum X_1 = 24) | (\sum X_2 = 25) | (\sum X_1^2 = 138) | (\sum X_2^2 = 135) | (\sum X_1 X_2 = 135) | (\sum X_1 Y = 774) | (\sum X_2 Y = 786) |

Además (n=5), (\sum Y = 150), (\sum X_1 = 24), (\sum X_2 = 25).

Paso 5: Resolver (\mathbfX'\mathbfX \hat\boldsymbol\beta = \mathbfX'\mathbfY)

El sistema es:

[ \begincases 4\beta_0 + 10\beta_1 + 7\beta_2 + 10\beta_3 = 55 \ 10\beta_0 + 30\beta_1 + 21\beta_2 + 30\beta_3 = 151 \ 7\beta_0 + 21\beta_1 + 18\beta_2 + 21\beta_3 = 113 \ 10\beta_0 + 30\beta_1 + 21\beta_2 + 30\beta_3 = 151 \endcases ]

Vemos que las ecuaciones 2 y 4 son iguales, por lo que tenemos infinitas soluciones (multicolinealidad). Elegimos una solución particular: hacemos (\beta_3 = 0).

Con (\beta_3=0), el sistema se reduce a:

(1) (4\beta_0 + 10\beta_1 + 7\beta_2 = 55)
(2) (10\beta_0 + 30\beta_1 + 21\beta_2 = 151)
(3) (7\beta_0 + 21\beta_1 + 18\beta_2 = 113)

Resolvemos:
Multiplicamos (1) por 2.5: (10\beta_0 + 25\beta_1 + 17.5\beta_2 = 137.5)
Restamos de (2): ((10-10)\beta_0 + (30-25)\beta_1 + (21-17.5)\beta_2 = 151 - 137.5) ⇒ (5\beta_1 + 3.5\beta_2 = 13.5) (I)

Multiplicamos (1) por 1.75: (7\beta_0 + 17.5\beta_1 + 12.25\beta_2 = 96.25)
Restamos de (3): ((7-7)\beta_0 + (21-17.5)\beta_1 + (18-12.25)\beta_2 = 113 - 96.25) ⇒ (3.5\beta_1 + 5.75\beta_2 = 16.75) (II)

Resolvemos (I) y (II):

(I) × 3.5: (17.5\beta_1 + 12.25\beta_2 = 47.25)
(II) × 5: (17.5\beta_1 + 28.75\beta_2 = 83.75)

Restamos: ((28.75-12.25)\beta_2 = 83.75 - 47.25) ⇒ (16.5\beta_2 = 36.5) ⇒ (\beta_2 = 2.2121)

Luego (5\beta_1 + 3.5(2.2121)=13.5) ⇒ (5\beta_1 = 13.5 - 7.7424 = 5.7576) ⇒ (\beta_1 = 1.1515)

De (1): (4\beta_0 + 10(1.1515) + 7(2.2121) = 55)
(4\beta_0 + 11.515 + 15.4847 = 55) ⇒ (4\beta_0 + 27 = 55) ⇒ (4\beta_0 = 28) ⇒ (\beta_0 = 7)

Modelo elegido (con (\beta_3=0)): [ \hatY = 7 + 1.1515 X_1 + 2.2121 X_2 ]

Nota: La multicolinealidad revela que (X_3) no aporta información adicional si ya tenemos (X_1) y (X_4)(??)… En este caso, (X_3) es combinación lineal.

Paso 1-2-3: Matrices iguales, excepto ΣX₂ y ΣX₂² cambian.

Calculamos nuevos totales:

ΣX₂ = 6+8+5+9+7 = 35
ΣX₁X₂ = (46)+(58)+(35)+(69)+(4*7) = 24+40+15+54+28 = 161
ΣX₂² = 36+64+25+81+49 = 255

Nueva X'X:

[5   22   35
 22  102  161
 35  161  255]

X'Y sigue igual: [380, 1715, 2475] (pues Y sin cambios).

Ahora calculamos determinante.

det(A) = 5 * det([102,161; 161,255]) - 22 * det([22,161; 35,255]) + 35 * det([22,102; 35,161])

Primer menor: (102255 - 161161) = 26010 - 25921 = 89
Segundo menor: (22255 - 16135) = 5610 - 5635 = -25
Tercer menor: (22161 - 10235) = 3542 - 3570 = -28

det = 5*(89) - 22*(-25) + 35*(-28) = 445 + 550 - 980 = 15 regresion lineal multiple ejercicios resueltos a mano

Determinante = 15 (no singular, bien).

Step 1: Compute sums

| Week | (X_1) | (X_2) | (Y) | (X_1Y) | (X_2Y) | (X_1^2) | (X_2^2) | (X_1X_2) | |------|---------|---------|-------|----------|----------|----------|----------|------------| | 1 | 1 | 2 | 5 | 5 | 10 | 1 | 4 | 2 | | 2 | 2 | 3 | 8 | 16 | 24 | 4 | 9 | 6 | | 3 | 3 | 4 | 11 | 33 | 44 | 9 | 16 | 12 | | 4 | 4 | 5 | 14 | 56 | 70 | 16 | 25 | 20 | | Sum | 10 | 14 | 38 | 110 | 148 | 30 | 54 | 40 |